Tot 1557 bestond het gelijkteken nog niet. Men gebruikte simpelweg de geschreven variant ‘is equal to’. Welshman Robert Recorde vond de constante herhaling van deze woorden maar vervelend en bedacht dat er wat korters voor moest komen. De twee strepen van het ‘=’ symbool waren hiervoor het meest geschikt omdat, volgens Recorde, ‘niks nog gelijker aan elkaar kon zijn dan twee rechte lijnen’. Om deze ‘parallelliteit’ goed over te brengen, tekende hij het symbool zelfs een stuk breder dan de moderne variant.

Genoeg geschiedenis. Tot een paar weken geleden leefde ik onder de veronderstelling dat het gelijkteken stond voor een alomvattende ‘wat links van het gelijkteken staat is gelijk aan wat er rechts van staat’. Alomvattend, dus exact hetzelfde, zonder enige beperkingen. Een paar weken geleden kwam ik echter tot de ontdekking dat dit laatste niet het geval is.

Stel: je hebt een functie:

f(x) = x.

Dit is een rechte lijn van 45 graden die oneindig groot(en klein) kan worden. Voor deze functie gelden er geen ‘beperkingen’ (wat je ook invult voor x, er komt altijd een y-waarde uit).

Als je x nu met 1 vermenigvuldigt, blijft het dezelfde waarde houden. Oftewel:

x = x * 1

Een andere regel uit de wiskunde zegt dat als de teller en de noemer van een breuk aan elkaar gelijk zijn, de breuk als geheel gelijk is aan 1. Oftewel:

5/5 = 1

x/x = 1

(x-1)/(x-1) = 1

Hieruit volgt dat je zulke breuken allemaal kan vermenigvuldigen met x. De stelling dat links gelijk is aan rechts lijkt nog steeds te kloppen. Oftewel:

x = x * 1 = x * (5/5)

Echter; in het volgende geval veranderen de eigenschappen van de linker- en rechterkant ineens:

x = x * (x-1)/(x-1)

Wat hierbij verandert is het domein. Links kan je voor ‘x’ elke waarde kiezen, en komt er altijd een antwoord uit. Daarentegen geldt dat voor de rechterkant niet meer. Als x daar gelijk zou zijn aan 1, zou je het volgende krijgen:

x = (1) * (0/0)

Omdat een breuk niet door 0 gedeeld worden, is er voor de rechterkant hier dus geen uitkomst.

Toch is dit vreemd; met alleen maar legitieme stappen, kom je tot de conclusie dat een hele lijn, gelijk is aan een lijn met gaten.

Gelukkig geldt hetzelfde niet voor fietsbanden..